从简单的平行线定义中，两位伟大的数学家发现了革命性的非欧几何

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发现非欧几何的荣誉归属于两个人∶就是匈牙利人波尔约和俄罗斯人罗巴切夫斯基。他们互相独立地对这门学科做了非常相似的研究。特别是两人都既在 2 维情况也在 3 维情况描述了一个异于欧几里得几何学。罗巴切夫斯基的结果先在 1829 年发表在一个很少为人所知的俄罗斯刊物上，1837 年又用法文发表，1840 年用德文发表，最后在 1855 年再用法文发表。波尔约则在 1831 年把自己的论文以附录的形式发表在他父亲写的一本两卷集的几何书里面。把他们的成就放在一起来讲最容易。两人都以一种新奇的方式来定义平行线如下∶给定一点 P 和一条直线 m，则经过 P 的直线中，有一些与 m 相交，有一些则不相交。把这两个集合分开的有两条过 P 的直线，它们并不怎么与 m 相交，但是这两条直线一条从 P 向右、一条向左地任意接近于 m。它们就是下图中的直线 n' 和 n"。直线 n’和 n”把经过 P 而与直线 m 相交或不相交的直线分离开罗巴切夫斯基